Question

8．已知直線l的方程為：（2+m）x+（1-2m）y+（4-3m）=0．
（1）求證：不論m為何值，直線必過定點M；
（2）過點M引直線l₁，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）原方程整理得：（x-2y-3）m+2x+y+4=0．由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，可得直線必過定點M；
（2）表示出面積，利用基本不等式，即可得出結論．

解答 （1）證明：原方程整理得：（x-2y-3）m+2x+y+4=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴不論m為何值，直線必過定點M（-1，-2）
（2）解：設直線l₁的方程為．y=k（x+1）-2（k＜0）．
令$y=0，x=\frac{k-2}{-k}，令x=0，y=k-2$．
∴${S_△}=\frac{1}{2}|\frac{k-2}{-k}||k-2|=\frac{1}{2}[（-k）+\frac{4}{-k}+4]≥\frac{1}{2}（4+4）=4$．
當且僅當$-k=\frac{4}{-k}$，即k=-2時，三角形面積最�。�
則l₁的方程為2x+y+4=0．

點評 本題考查直線過定點，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．