Question

14．如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA′=2，BC=AC=1，D，E分別是CC′、A′B的中點(diǎn)．
（1）求異面直線CE與BD所成角的余弦值；
（2）在CC′上是否存在一點(diǎn)P，使得PE⊥平面ABD？若存在，請(qǐng)求出CP的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）以{$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{C{C}^{'}}$}為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，利用向量法能求出異面直線CE與BD所成角的余弦值．
（2）假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)P，設(shè)P（0，0，t），求出平面ABD的法向量，利用向量法能求出在CC′上存在一點(diǎn)P，使得PE⊥平面ABD，并能求出此時(shí)CP的值．

解答 解：（1）以{$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{C{C}^{'}}$}為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
由已知得C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，1），A′（1，0，2），
$\overrightarrow{BD}$=（0，-1，1），E（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1$），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1$），
cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{CE}$＞=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{BD}|•|\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴異面直線CE與BD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（2）假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)P，設(shè)P（0，0，t），
則$\overrightarrow{PE}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1-t$），$\overrightarrow{AB}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{AD}$=（-1，0，1），
設(shè)平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$，
不妨令x=1，可得平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
若PE⊥平面ABD，則$\overrightarrow{PE}$∥$\overrightarrow{m}$，即$\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1-t}{1}$，解得t=$\frac{1}{2}$，故CP=$\frac{1}{2}$．
所以，在CC′上存在一點(diǎn)P，使得PE⊥平面ABD，此時(shí)CP=$\frac{1}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的確定，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．