Question

9．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量$\vec m=（sinA，a），\vec n=（1，sinB）$
（1）當(dāng)$\vec m•\vec n=2sinA$時，求b的值；
（2）當(dāng)$\vec m∥\vec n$時，且$cosC=\frac{1}{2}a$，求tanA•tanB的值．

Answer 1

分析 （1）由題意得$\vec m•\vec n=sinA+asinB=2sinA$，即$\frac{a}{sinA}=\frac{1}{sinB}$，由正弦定理有：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，聯(lián)立即可得解b的值．
（2）由平行條件得a=sinA•sinB，由$cosC=\frac{1}{2}a$，則可得$cosAcosB=\frac{1}{2}a$，聯(lián)立即可得解．

解答 解：（1）由題意得：$\vec m•\vec n=sinA+asinB=2sinA$，…（2分）
即得$\frac{a}{sinA}=\frac{1}{sinB}$，
在三角形中由正弦定理有：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，…（4分）
由以上兩式可知：b=1．…（6分）
（2）由平行條件得a=sinA•sinB，…（8分）
$cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=\frac{1}{2}a$，…（10分）
則可得到：$cosAcosB=\frac{1}{2}a$，…（12分）
∴$tanAtanB=\frac{sinAsinB}{cosAcosB}=2$．…（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角和的余弦函數(shù)公式的綜合應(yīng)用，考查了計算計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．