Question

4．若拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦點(diǎn)，點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=p，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$
• B． $2+\sqrt{2}$
• C． $1+\sqrt{2}$
• D． $\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 確定拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=p，求出M的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求得結(jié)論．

解答 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），其準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
∵準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦點(diǎn)，
∴c=$\frac{p}{2}$；
∵點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=p，
∴M的橫坐標(biāo)為$\frac{p}{2}$，
代入拋物線方程，可得M的縱坐標(biāo)為±p，
將M的坐標(biāo)代入雙曲線方程，可得$\frac{\frac{{p}^{2}}{4}}{{a}^{2}}$-$\frac{{p}^{2}}{^{2}}$=1，∴a=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$p，
∴e=$\frac{c}{a}$=1+$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查曲線的交點(diǎn)，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，確定M的坐標(biāo)是關(guān)鍵．