Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=x（x²-3a），求f（x）在[0，1]上的最大值F（a）．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分類討論可得．

解答 解：由題意可得f（x）=x（x²-3a）=x³-3ax，
求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
故最大值為F（1）=1-3a；
（2）當(dāng)0＜a≤1時(shí)，令f′（x）＞0可得x＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$（舍去），
故函數(shù)F（x）在[0，$\sqrt{a}$）單調(diào)遞減，在（$\sqrt{a}$，1]單調(diào)遞增，
計(jì)算可得F（0）=0，F(xiàn)（1）=1-3a，
當(dāng)0＜1-3a即a0＜a＜$\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)的最大值為1-3a，
當(dāng)0≥1-3a即$\frac{1}{3}$≤a＜1時(shí)，函數(shù)的最大值為0；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，$\sqrt{a}$＞1，函數(shù)在在[0，1]上單調(diào)遞減，
故最大值為F（0）=0．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)在閉區(qū)間的最值，涉及分類討論的思想和不等式的解法，屬中檔題．