Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并寫出其通項公式；
（2）根據(jù)（1）中寫出的通項公式，用三段論證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可求a₁，a₂，a₃，a₄的值并寫出其通項公式；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合三段論進行證明．

解答 解：（Ⅰ）由a_n=2-S_n，得a₁=1；${a_2}=\frac{1}{2}$；${a_3}=\frac{1}{4}$；${a_4}=\frac{1}{8}$，
猜想${a_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$（n∈N^*）．                      …（5分）
（Ⅱ）因為通項公式為a_n的數(shù)列{a_n}，若$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=p$，p是非零常數(shù)，
則{a_n}是等比數(shù)列；…大前提
因為通項公式${a_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，又$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{1}{2}$；…小前提
所以通項公式${a_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$的數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．…結(jié)論…（12分）

點評 本題主要考查等比數(shù)列的判斷，以及利用三段論進行證明，考查學生的推理能力．