Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x}{4}+\frac{5}{4x}-lnx-\frac{3}{2}$．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，切點的坐標(biāo)，可得曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極值．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{x}{4}+\frac{5}{4x}-lnx-\frac{3}{2}$，…（2分）
得f′（1）=-2又f（1）=0…（3分）
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=-2（x-1），即2 x+y-2=0．…（5分）
（2）函數(shù)$f（x）=\frac{x}{4}+\frac{5}{4x}-lnx-\frac{3}{2}$的定義域為（0，+∞）．
由$f'（x）=\frac{1}{4}-\frac{5}{{4{x^2}}}-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-4x-5}}{{4{x^2}}}$，
令f'（x）=0，解得x=-1或x=5．
因x=-1不在f（x）的定義域（0，+∞）內(nèi)，故舍去．…（7分）
當(dāng)x∈（0，5）時，f'（x）＜0，故f（x）在（0，5）內(nèi)為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（5，+∞）時，f'（x）＞0，故f（x）在（5，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；
由此知函數(shù)f（x）在x=5時取得極小值f（5）=-ln5．…（10分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．