Question

18．設(shè)奇函數(shù)f（x）與g（x）偶函數(shù)的定義域都為（-∞，+∞），且滿足f（x）+g（x）=2^x，有下列命題：
①g（x）≥1在（-∞，+∞）恒成立；
②f（x）²-g（x）²=-1在（-∞，+∞）恒成立；
③f（x）≤g（x）在（-∞，+∞）恒成立；
④g（2x）=2f（x）g（x）在（-∞，+∞）恒成立．
則真命題是①②③（填所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 由奇函數(shù)f（x）與g（x）偶函數(shù)的定義域都為（-∞，+∞），且滿足f（x）+g（x）=2^x，可得2^-x=f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x），解得f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$．
①利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤；
②把f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$代入f（x）²-g（x）²化簡(jiǎn)整理即可判斷出正誤；
③f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$≤$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$=g（x），即可判斷出正誤；
④分別計(jì)算g（2x）=$\frac{{4}^{x}+{4}^{-x}}{2}$，2f（x）g（x）=$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{2}$．即可判斷出正誤．

解答 解：∵奇函數(shù)f（x）與g（x）偶函數(shù)的定義域都為（-∞，+∞），且滿足f（x）+g（x）=2^x，
∴2^-x=f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x），解得f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$．
①∵g（x）=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$$≥\sqrt{{2}^{x}•{2}^{-x}}$=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，因此g（x）≥1在（-∞，+∞）恒成立，①正確；
②f（x）²-g（x）²=$（\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}）^{2}$-$（\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}）^{2}$=-1在（-∞，+∞）恒成立，②正確；
③f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$≤$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$=g（x），因此f（x）≤g（x）在（-∞，+∞）恒成立，③正確；
④g（2x）=$\frac{{4}^{x}+{4}^{-x}}{2}$，2f（x）g（x）=2×$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{2}$×$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{2}$=$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{2}$．∴g（2x）≠2f（x）g（x），④不正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．