Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$（x∈R），若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），則x₁，2-x₂大小關(guān)系是（　�。�

• A． x₁＞2-x₂
• B． x₁＜2-x₂
• C． x₁=2-x₂
• D． x₁與2-x₂大小不確定

Answer 1

分析 首先利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后利用構(gòu)造函數(shù)的方法進(jìn)行判斷．

解答 解：f′（x）=（1-x）e^-x，令f′（x）=0，得x=1，當(dāng)x＜1時(shí)f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)f′（x）＜0，
所以當(dāng)x＜1時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
函數(shù)f（x）的極大值是f（1）=$\frac{1}{e}$．
令g（x）=f（2-x），得g（x）=（2-x）e^x-2，
令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$+（x-2）e^x-2，
于是F′（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x
當(dāng)x＞1時(shí)，2x-2＞0，從而F′（x）＞0，從而函數(shù)F（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，
所以F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x），即在[1，+∞）上f（x）＞g（x）．
①若x₁＞1，x₂＞1，則x₁-1＞0，x₂-1＞0，不會(huì)有（x₁-1）（x₂-1）=0
所以x₁=x₂=1不合題意，舍去；
②若（x₁-1）（x₂-1）＞0，又因?yàn)閒（x₁）=f（x₂），所以x₁=x₂=1，不合題意，舍去；
所以（x₁-1）（x₂-1）＜0，
不妨設(shè)x₁＜1＜x₂，因?yàn)閒（x）＞g（x），
所以f（x₂）＞f（2-x₂），又因?yàn)閒（x₁）=f（x₂），所以f（x₁）＞f（2-x₂），
因?yàn)閤₂＞1，所以2-x₂＜1，由函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，所以x₁＞2-x₂，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及構(gòu)造函數(shù)的思想，進(jìn)行證明不等關(guān)系．