Question

3．已知c＞0，設(shè)命題p：函數(shù)y=c^x為減函數(shù)，命題q：當(dāng)x∈[1，4]時(shí)函數(shù)$f（x）=x+\frac{4}{x}＞\frac{1}{c}$恒成立，如果p且q為真命題，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 對(duì)于命題p：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：0＜c＜1；對(duì)于命題q：當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，利用基本不等式的性質(zhì)可得：函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$≥4，由于函數(shù)$f（x）=x+\frac{4}{x}＞\frac{1}{c}$恒成立，可得$\frac{1}{c}$＜（f（x））_min，可得c的取值范圍，p且q為真命題可知：p與q都為真命題．

解答 解：c＞0，
對(duì)于命題p：函數(shù)y=c^x為減函數(shù)，則0＜c＜1；
對(duì)于命題q：當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，由于函數(shù)$f（x）=x+\frac{4}{x}＞\frac{1}{c}$恒成立，
∴$\frac{1}{c}$＜（f（x））_min=4，又c＞0，解得$\frac{1}{4}＜c$．
∵p且q為真命題，∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{\frac{1}{4}＜c}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{4}$＜c＜1．
∴c的取值范圍是$\frac{1}{4}$＜c＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．