Question

10．如圖，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，平面ABCD丄平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．
（Ⅰ）證明：AG∥平面BDE；
（Ⅱ）求由頂點ABCDEG所圍成的幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）取BE中點H，連結DH，則可證四邊形ADHG為平行四邊形，從而得到AG∥DH，推出AG∥平面BDE；
（2）將幾何體分解成三棱錐A-BEG和四棱錐E-ABCD，分別求出他們的體積即可．

解答 證明：（I）過G作GF⊥CE交BE于H，連結DH，則四邊形BCFG是矩形，∴CF=BG，∴F是CE的中點，H是FG的中點，
∴HG=$\frac{1}{2}BC$，HG∥BC，∵AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}BC$，
∴AD=HG，AD∥HG，∴四邊形ADHG是平行四邊形，
∴AG∥DH，∵DH?平面BDE，AG?平面BDE，
∴AG∥平面BDE．
（II）連結AE，∵平面ABCD丄平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，
∴CE⊥平面ABCD，DC⊥平面BCEG，
∴由頂點ABCDEG所圍成的幾何體的體積V=V_棱錐E-ABCD+V_棱錐A-BEG
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）×2×2$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2$=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質，空間幾何體的體積計算，屬于中檔題．