Question

18．如圖，若$\widehat{ACB}$是半徑為r的圓的弓形，弦AB長為$\sqrt{2}$r，C為劣弧AB上的一點(diǎn)，CD⊥AB于D，當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時(shí)，△ACD的面積最大，并求這個(gè)最大面積．

Answer 1

分析 先表示出△ACD的面積，再用基本不等式求出最大面積．

解答 解：∵$\widehat{ACB}$是半徑為r的圓的弓形，弦AB長為$\sqrt{2}$r，
∴∠AOB=90°．
連接OC，設(shè)∠CAB=α，則∠BOC=2α，∠AOC=90°-2α，
∴AC=2rsin（45°-α），
∴AD=ACcosα，
∴△ACD的面積S=$\frac{1}{2}×AC×AD×sinα$=r²sin²（45°-α）sin2α
=$\frac{{r}^{2}}{2}×（1-sin2α）sin2α$≤$\frac{{r}^{2}}{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{{r}^{2}}{8}$．
當(dāng)且僅當(dāng)1-sin2α=sin2α，即sin2α=$\frac{1}{2}$，
∴α=$\frac{π}{12}$時(shí)，△ACD的面積最大，最大面積為$\frac{{r}^{2}}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形面積的計(jì)算，考查三角函數(shù)知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．