Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N₊，點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函數(shù)f（x）=3x+2的圖象上．
（1）求a₁，a₂及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）解不等式f（n）≥S_n-22．

Answer 1

分析 （1）由點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函數(shù)f（x）=3x+2的圖象上，可得${S}_{n}=3{n}^{2}+2n$，分別取n=1，2求得a₁，a₂，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出f（n），代入f（n）≥S_n-22，求解關(guān)于n的一元二次不等式得答案．

解答 解：（1）由（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在函數(shù)f（x）=3x+2的圖象上，
得$\frac{{S}_{n}}{n}=3n+2$，
∴${S}_{n}=3{n}^{2}+2n$，
則a₁=S₁=5，${a}_{1}+{a}_{2}=3×{2}^{2}+2×2=16$，
∴a₂=11，
當(dāng)n≥2時，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=3{n}^{2}+2n$-[3（n-1）²+2（n-1）]=6n-1；
（2）由f（n）≥S_n-22，
得3n+2≥3n²+2n-22，
即3n²-n-24≤0，
解得：$-\frac{8}{3}≤n≤3$，
∵n∈N₊，
∴n=1，2，3．
則不等式f（n）≥S_n-22的解集為{1，2，3}．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了一元二次不等式的解法，是中檔題．