Question

9．已知函數(shù)f（x）=a^x．
（I）若a=2時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）+f（1-x）-m=0在區(qū)間[1，2]內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若a＞0，且a≠1，函數(shù)g（x）=f（2x）+2f（x）-1在[-1，1]上的最大值是14，求a的值．

Answer 1

分析 （I）若a=2時(shí)，利用參數(shù)分離法和換元法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的范圍即可；
（Ⅱ）利用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的最大值，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（I）若a=2時(shí)，f（x）=2^x．
則f（x）+f（1-x）-m=0等價(jià)為2^x+2^1-x=m，
即m=2^x+$\frac{2}{{2}^{x}}$，
設(shè)t=2^x，則當(dāng)1≤x≤2時(shí)，2≤t≤4，
此時(shí)函數(shù)y=2^x+$\frac{2}{{2}^{x}}$，
等價(jià)為y=t+$\frac{2}{t}$則函數(shù)y=t+$\frac{2}{t}$在2≤t≤4上為增函數(shù)，
則當(dāng)t=2時(shí)取得最小值y=2+$\frac{2}{2}$=2+1=3，
當(dāng)t=4時(shí)取得最大值y=4+$\frac{2}{4}$=$\frac{9}{2}$，
即3≤y≤$\frac{9}{2}$，
若方程f（x）+f（1-x）-m=0在區(qū)間[1，2]內(nèi)有解，
則3≤m≤$\frac{9}{2}$，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3，$\frac{9}{2}$]；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=f（2x）+2f（x）-1=a^2x+2a^x-1=（a^x+1）²-2，
設(shè)t=a^x，則函數(shù)等價(jià)為y=（t+1）²-2，
若a＞1，則當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，$\frac{1}{a}$≤t≤a，
此時(shí)當(dāng)t=a時(shí)，函數(shù)取得最大值是14，
即（a+1）²-2=14，即（a+1）²=16，
即a+1=4，則a=3，
若0＜a＜1，則當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，a≤t≤$\frac{1}{a}$，
此時(shí)當(dāng)t=$\frac{1}{a}$時(shí)，函數(shù)取得最大值是14，
即（$\frac{1}{a}$+1）²-2=14，即（$\frac{1}{a}$+1）²=16，
即$\frac{1}{a}$+1=4，則$\frac{1}{a}$=3，得a=$\frac{1}{3}$，
綜上a=3或$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．