Question

14．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則下列一定成立的是（　�。�

• A． 若a₄＞0，則a₂₀₁₆＜0
• B． 若a₅＞0，則a₂₀₁₅＜0
• C． 若a₄＞0，則S₂₀₁₆＞0
• D． 若a₅＞0，則S₂₀₁₅＞0

Answer 1

分析 當(dāng)a₅=a₁q⁴＞0時(shí)，a₁＞0，分當(dāng)q＜0時(shí)，當(dāng)0＜q＜1時(shí)，當(dāng)q＞1時(shí)，和q=1時(shí)由不等式的性質(zhì)可得S₂₀₁₅＞0．

解答 解：當(dāng)a₅=a₁q⁴＞0時(shí)，a₁＞0，
又當(dāng)q≠1時(shí)，S₂₀₁₅=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2015}）}{1-q}$，
∴當(dāng)q＜0時(shí)，1-q＞0，1-q²⁰¹⁵＞0，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2015}）}{1-q}$＞0，即S₂₀₁₅＞0；
當(dāng)0＜q＜1時(shí)，1-q＞0，1-q²⁰¹⁵＞0，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2015}）}{1-q}$＞0，即S₂₀₁₅＞0；
當(dāng)q＞1時(shí)，1-q＜0，1-q²⁰¹⁵＜0，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2015}）}{1-q}$＞0，即S₂₀₁₅＞0；
當(dāng)q=1時(shí)，S₂₀₁₅=2015a₅＞0．
綜上可得當(dāng)a₅＞0時(shí)，S₂₀₁₅＞0．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及分類討論的思想和不等式的性質(zhì)，屬中檔題．