Question

8．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓O的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=2-3t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求圓O的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；
（2）求圓O上離直線l距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）圓O的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ，化為ρ²=6ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐標(biāo)方程；
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=2-3t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去t即可化為普通方程．
（2）x²+y²=6x，配方為（x-3）²+y²=9，圓心為O（3，0），過(guò)點(diǎn)O與直線l垂直的直線方程為：y=-$\frac{1}{3}$（x-3），化為x+3y-3=0．與圓的方程聯(lián)立即可得出．

解答 解：（1）圓O的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ，化為ρ²=6ρcosθ，∴直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=6x；
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=2-3t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去t化為3x-y+2=0．
（2）x²+y²=6x，配方為（x-3）²+y²=9，圓心為O（3，0），過(guò)點(diǎn)O與直線l垂直的直線方程為：y=-$\frac{1}{3}$（x-3），化為x+3y-3=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=6x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{30-9\sqrt{10}}{10}}\\{y=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$，$x=\frac{30+9\sqrt{10}}{10}$舍去．
∴圓O上離直線l距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為$（\frac{30-9\sqrt{10}}{10}，\frac{3\sqrt{10}}{10}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線與圓的交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．