Question

13．已知曲線C的極坐標是ρ=4，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，又直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2t}\\{y=-5+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）寫出曲線C與直線l的普通方程；
（2）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{\sqrt{3}}{2}y}\end{array}\right.$得到曲線C′，在曲線上找一點，使這一點到直線l的距離最短，并求出該點坐標．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，能求出曲線C的直角坐標方程，消去參數(shù)，能求出直線l的普通方程．
（2）先求出線C′參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，設(shè)P（4cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ）是曲線C′上一點，由此利用點到直線的距離公式能求出點到直線l的距離最短時該點坐標．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標是ρ=4，∴ρ²=16，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²=16，
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2t}\\{y=-5+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)，得直線l的普通方程為x-2y-12=0．
（2）∵曲線C經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{\sqrt{3}}{2}y}\end{array}\right.$得到曲線C′，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{'}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}{y}^{'}}\end{array}\right.$，∴曲線C′為：x^'2+$\frac{4}{3}{{y}^{'}}^{2}$=16，
∴曲線C′為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，其參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，0≤θ＜2π，
∴設(shè)P（4cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ）是曲線C′上一點，
P到直線l的距離：d=$\frac{|4cosθ-4\sqrt{3}sinθ-12|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}|8sin（θ+\frac{5π}{6}）-12|$，
∴當θ=$\frac{2π}{3}$時，點P到直線l的距離最短，最短值為d_min=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
此時，x=4cos$\frac{2π}{3}$=-2，y=2$\sqrt{3}$sin$\frac{2π}{3}$=3，∴點到直線l的距離最短時該點坐標P（-2，3）．

點評 本題考查極坐標、直角坐標、點到直線的距離最短時點的坐標的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意點到直線距離公式的合理運用．