Question

18．三棱錐P-ABC中，PA=4PB=PC=2，∠APB=∠APC=∠BPC=60°，則三棱錐P-ABC的體積為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 利用三面角公式求出PC與底面所成角的余弦函數(shù)值，然后求出C到底面的距離，底面PAB的面積，即可求解三棱錐的體積．

解答 解：由題意三棱錐P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，可知PC在底面PAB內(nèi)的射影是∠BPA的平分線，
PC與∠BPA的平分線的夾角為θ，由三面角公式可得：cos60°=cos30°cosθ，
可得cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
C到底面PAB是距離為：PCsinθ=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
底面PAB三角形的面積為：$\frac{1}{2}×2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
三棱錐P-ABC的體積為$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三面角公式的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查計(jì)算能力以及空間想象能力．