Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，焦距為2$\sqrt{2}$，過點D（1，0）且不過點E（2，1）的直線l與橢圓C交于A，B兩點，直線AE與直線x=3交于點M．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若AB垂直于x軸，求直線MB的斜率；
（3）試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件先求出橢圓C的半焦距，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系可得a，b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由直線l過D（1，0）且垂直于x軸，設(shè)A（1，y₁），B（1，-y₁），求得AE的方程，求得M的坐標(biāo)，再由直線的斜率公式計算即可得到所求值；
（3）直線BM與直線DE平行．分直線AB的斜率不存在與存在兩種情況討論，利用韋達(dá)定理，計算即可．

解答 解：（1）由題意可得2c=2$\sqrt{2}$，即c=$\sqrt{2}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得a=$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）由直線l過D（1，0）且垂直于x軸，設(shè)A（1，y₁），B（1，-y₁），
AE的方程為y-1=（1-y₁）（x-2），令x=3可得M（3，2-y₁），
即有BM的斜率為k=$\frac{2-{y}_{1}-（-{y}_{1}）}{3-1}$=1；
（3）直線BM與直線DE平行．
證明如下：當(dāng)直線AB的斜率不存在時，k_BM=1．
又∵直線DE的斜率k_DE=$\frac{1-0}{2-1}$=1，∴BM∥DE；
當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=k（x-1）（k≠1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則直線AE的方程為y-1=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$（x-2），
令x=3，則點M（3，$\frac{{x}_{1}+{y}_{1}-3}{{x}_{1}-2}$），
∴直線BM的斜率k_BM=$\frac{\frac{{x}_{1}+{y}_{1}-3}{{x}_{1}-2}-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$，
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0，
由韋達(dá)定理，得x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∵k_BM-1=$\frac{k（{x}_{1}-1）+{x}_{1}-3-k（{x}_{2}-1）（{x}_{1}-2）-（3-{x}_{2}）（{x}_{1}-2）}{（3-{x}_{2}）（{x}_{1}-2）}$
=$\frac{（k-1）[-{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）-3]}{（3-{x}_{2}）（{x}_{1}-2）}$=$\frac{（k-1）（\frac{3-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}+\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}-3）}{（3-{x}_{2}）（{x}_{1}-2）}$=0，
∴k_BM=1=k_DE，即BM∥DE；
綜上所述，直線BM與直線DE平行．

點評 本題是一道直線與橢圓的綜合題，涉及到韋達(dá)定理等知識，考查計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．