4.已知正四棱錐的底面邊長為2a,其側(cè)視圖是腰長為2的等腰三角形(如圖所示),當(dāng)正視圖的面積最大時,該正四棱錐的表面積為( 。
A.8B.8+8$\sqrt{2}$C.8$\sqrt{2}$D.4+8$\sqrt{2}$

分析 根據(jù)左視圖準(zhǔn)確還原幾何體,求出a和h的關(guān)系,再確定出主視圖的形狀,表示出主視圖的面積,由基本不等式求出最大值以及對應(yīng)的a和h的值,代入棱錐的表面積公式求解

解答 解:由題意畫出四棱錐如圖:其主視圖和左視圖相同,
由該四棱錐的主視圖可知四棱錐的底面邊長AB=2a,
設(shè)高PO=h,則四棱錐的斜高PE=$\sqrt{2}$,
∴a2+h2=4,
則主視圖的面積S=$\frac{1}{2}$2ah=ah≤$\frac{{a}^{2}+{h}^{2}}{2}$=2,
當(dāng)且僅當(dāng)a=h=$\sqrt{2}$時取等號,此時S最大.
∴四棱錐的表面積S=(2a)2+4×$\frac{1}{2}$×2a×2=8+8$\sqrt{2}$;
故選B.

點評 本題主要考查由三視圖求面、體積,以及基本不等式求出最值,求解的關(guān)鍵是由視圖得出幾何體的長、寬、高等性質(zhì),熟練掌握各種類型的幾何體求表面積的公式.

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