Question

14．已知在（1+x）³+（1十x）⁴+…+（1+x）ⁿ（n∈N^*）的展開(kāi)式中．
（1）求含x²項(xiàng)的系數(shù)；
（2）利用${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，求1²+2²+3²+…+n²．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果．
（2）由題意求得n²=2${C}_{n}^{2}$+n，把要求的式子化為1+2（${C}_{2}^{2}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+…+${C}_{n}^{2}$ ）+（2+3+…+n），再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算求得結(jié)果．

解答 解：（1）在（1+x）³+（1十x）⁴+…+（1+x）ⁿ（n∈N^*）的展開(kāi)式中，
含x²項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{5}^{2}$+…+${C}_{n}^{2}$=2+${C}_{3}^{3}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{5}^{2}$+…+${C}_{n}^{2}$=2+${C}_{n+1}^{3}$=2+$\frac{（n+1）•n•（n-1）}{6}$．
（2）${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{n}{2}$，∴n²=2${C}_{n}^{2}$+n，
∴1²+2²+3²+…+n²=1+2（${C}_{2}^{2}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+…+${C}_{n}^{2}$ ）+（2+3+…+n）
=1+2${C}_{n+1}^{3}$+$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=1+2•$\frac{（n+1）•n•（n-1）}{6}$+$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、組合數(shù)的計(jì)算公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．