Question

4．函數(shù)f_M（x）的定義域為R，且定義如下：f_M（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x∈M}\\{\frac{1}{x}，x∉M}\end{array}\right.$（M是實數(shù)集R的非空真子集），若A={x||x-1|≤2}，B={x|-1≤x＜1}，則F（x）=$\frac{2{f}_{A∪B}（x）+1}{{f}_{A}（x）+{f}_{B}（x）+1}$的最大值為$\frac{21}{13}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件先求出A，A∪B的范圍，根據(jù)定義將函數(shù)F（x）表示為分段函數(shù)形式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可．

解答 解：A={x||x-1|≤2}={x|-2≤x-1≤2}={x|-1≤x≤3}，B={x|-1≤x＜1}，
則A∪B={x|-1≤x≤3}，
則f_A∪B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，}&{-1≤x≤3}\\{\frac{1}{x}，}&{x＞3或x＜-1}\end{array}\right.$，f_A（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，}&{-1≤x≤3}\\{\frac{1}{x}，}&{x＞3或x＜-1}\end{array}\right.$，f_B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，}&{-1≤x＜1}\\{\frac{1}{x}，}&{x＜-1或x≥1}\end{array}\right.$，
即當-1≤x＜1時，F(xiàn)（x）=$\frac{2x+1}{x+x+1}=\frac{2x+1}{2x+1}$=1，
當1≤x≤3時，F(xiàn)（x）=$\frac{2x+1}{x+\frac{1}{x}+1}$=$\frac{2{x}^{2}+x}{{x}^{2}+x+1}$，
此時F′（x）=$\frac{（4x+1）（{x}^{2}+x+1）-（2{x}^{2}+x）（2x+1）}{（{x}^{2}+x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+4x+1}{（{x}^{2}+x+1）^{2}}$＞0恒成立，
即此時F（x）為增函數(shù)，
則F（1）=$\frac{2+1}{1+1+1}$=$\frac{2}{3}$，F(xiàn)（3）=$\frac{2×{3}^{2}+3}{{3}^{2}+3+1}$=$\frac{18+3}{9+4}$=$\frac{21}{13}$．
當x＞3或x＜-1時，F(xiàn)（x）=$\frac{\frac{2}{x}+1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+1}=1$，
綜上函數(shù)的最大值為$\frac{21}{13}$．
故答案為：$\frac{21}{13}$．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)條件將函數(shù)F（x）表示為分段函數(shù)形式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．