Question

5．某調(diào)查機(jī)構(gòu)從某縣農(nóng)村淘寶服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中隨機(jī)抽取20個(gè)網(wǎng)點(diǎn)作為樣本進(jìn)行元旦期間網(wǎng)購(gòu)金額（單位：萬(wàn)元）的調(diào)查．獲得的所有樣本數(shù)據(jù)按照區(qū)間[0，5]，（5，10]，（10，15]，（15，20]，（20，25]進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率直方圖
（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)樣本中網(wǎng)購(gòu)金額的平均值；（注：設(shè)樣本數(shù)據(jù)第i組的頻率為p_i，第i組區(qū)間的中點(diǎn)值為x_i（i=1，2，3，4，5），則樣本數(shù)據(jù)的平均值為X=x₁p₁+x₂p₂+x₃p₃+x₄p₄+x₅p₅．
（2）若網(wǎng)購(gòu)金額在（15，25]的服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)定義為優(yōu)秀網(wǎng)點(diǎn)，其余為非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，從20個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中任選2個(gè)，記ξ表示選到優(yōu)秀網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得先求出m，由此能求出樣本中網(wǎng)購(gòu)金額的平均值．
（2）先求出網(wǎng)購(gòu)金額在（15，25]的服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)個(gè)數(shù)有5個(gè)，非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)個(gè)數(shù)有15個(gè)，進(jìn)而得到ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得（0.02+0.03+0.04+m+0.06）×5=1，
解得m=0.05，
∴樣本中網(wǎng)購(gòu)金額的平均值為：2.5×0.05×5+7.5×0.04×5+12.5×0.06×5+17.5×0.02×5+22.5×0.03×5=11．
（2）網(wǎng)購(gòu)金額在（15，25]的服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（0.02+0.03）×5×20=5個(gè)，
∴優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)個(gè)數(shù)有5個(gè)，非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)個(gè)數(shù)有15個(gè)，
∴從20個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中任選2個(gè)，ξ表示選到優(yōu)秀網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{21}{38}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{15}{38}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{2}{38}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{21}{38}$	$\frac{15}{38}$	$\frac{2}{38}$

Eξ=$0×\frac{21}{38}+1×\frac{15}{38}+2×\frac{2}{38}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．