Question

17．如圖l是東西走向的一水管，在水管北側有兩個半徑都是10m的圓形蓄水池A，B（A，B分別為蓄水池的圓心），經測量，點A，B到水管l的距離分別為55m和25m，AB=50m．以l所在直線為x軸，過點A且與l垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系（O為坐標原點）．
（1）求圓B的方程；
（2）計劃在水管l上的點P處安裝一接口，并從接口出發(fā)鋪設兩條水管，將l中的水引到A，B兩個蓄水池中，問點P到點O的距離為多少時，鋪設的兩條水管總長度最��？并求出該最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圓的圓心坐標，即可寫出圓的方程．
（2）圓A關于x軸對稱的圓為圓D，求出D（0，-55）又B（40，25），求出直線BD的方程為2x-y-55=0，當D，P，B三點共線時DP+BP最小即AP+BP最小，求出P的坐標．

解答 解：作BC⊥OA于點C，則在直角△ABC中，AB=50，AC=55-25=30，
所以BC=40，
又B到x軸的距離為25，
所以B（40，25）…（3分）
所以圓B的方程為（x-40）²+（y-25）²=100．…（6分）
（2）設圓A關于x軸對稱的圓為圓D，
則圓D：x²+（y+55）²=100，…（8分）
D（0，-55）又B（40，25）
所以${k_{DB}}=\frac{25-（-55）}{40-0}=2$
所以直線BD的方程為2x-y-55=0…（10分）
因為AP=DP，
所以AP+BP=DP+BP，
所以當點D，P，B三點共線時DP+BP最小即AP+BP最小，
最小值為$\sqrt{{{40}^2}+{{80}^2}}=40\sqrt{5}$…（14分）．
由$\left\{\begin{array}{l}x-2y-55=0\\ y=0\end{array}\right.$，
解得P（0，$\frac{55}{2}$）．…（16分）

點評 本題考查圓的方程的綜合應用，直線與圓的位置關系，考查計算能力．