Question

16．已知函數(shù)f（x）=log_a[（a-1）x-1]．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若對(duì)任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由真數(shù)大于零可求出答案；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值，只需讓f（x）的最小值大于0即可．

解答 解：（1）由f（x）=log_a[（a-1）x-1]有意義得：
      （a-1）x-1＞0，且a＞0，a≠1
當(dāng)a＞1時(shí)，x＞$\frac{1}{a-1}$；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜$\frac{1}{a-1}$．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?\frac{1}{a-1}$，+∞）；
 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{a-1}$）．
（2）令g（x）=（a-1）x-1，
則當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）=（a-1）x-1在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）=log_a[（a-1）x-1]在[2，+∞）上是增函數(shù)．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）=（a-1）x-1在[2，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（x）=log_a[（a-1）x-1]在[2，+∞）上是增函數(shù)．
綜上所述，f（x）=log_a[（a-1）x-1]在[2，+∞）上是增函數(shù)．
∴f_min（x）=f（2）=log_a（2a-3）．
∵對(duì)任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
∴f_min（x）＞0，
即log_a（2a-3）＞0．
①當(dāng)a＞1時(shí)，2a-3＞1，解得a＞2．
②0＜a＜1時(shí)，0＜2a-3＜1解得$\frac{3}{2}$＜a＜2（舍）．
a的取值范圍是（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．