Question

10．已知平面內(nèi)一動點P到點F（0，2）的距離與點P到直線l：y=-2的距離相等．
（1）求點P的軌跡C的方程．
（2）點Q為直線l上一點，過點Q作C的切線分別交C于A、B兩點，
①求證：直線AB過點F；
②求證：以AB為直徑的圓與l相切．

Answer 1

分析 （1）判斷動點P的軌跡為拋物線，且開口向上，求出p=4，即可求解拋物線方程．
（2）①設(shè)點Q（x₀，-2），直線的斜率設(shè)為k，求出切線的方程為y=k（x-x₀）-2，代入x²=8y，利用△=0，得到關(guān)系式，設(shè)QA、QB的斜率分別為k₁、k₂，利用${k_1}+{k_2}=\frac{x_0}{2}$，k₁k₂=-1，推出k_AF=k_BF，得到直線AB過點F，②設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為M，求出M坐標，推出MQ⊥l，得到QA⊥QB，然后證明以AB為直徑的圓與l相切（切點為Q）．

解答 （本小題滿分13分）
解：（1）由題意可知，動點P的軌跡為拋物線，且開口向上，p=4，
因此其方程為x²=8y．…（3分）
（2）設(shè)點Q（x₀，-2），易知過點Q且與拋物線C相切的直線的斜率存在，
設(shè)為k，則切線的方程為y=k（x-x₀）-2
代入x²=8y中消去y有x²-8kx+8kx₀+16=0，
∵△=64k²-32kx₀-64=0即2k²-kx₀-2=0…（5分）
設(shè)QA、QB的斜率分別為k₁、k₂，則${k_1}+{k_2}=\frac{x_0}{2}$，k₁k₂=-1…（7分）
將y=k₁（x-x₀）-2、y=k₂（x-x₀）-（2分）別與x²=8y聯(lián)立
可求得$A（4{k_1}，2k_1^2）$、$B（4{k_2}，2k_2^2）$
①∴${k_{AF}}-{k_{BF}}=\frac{2k_1^2-2}{k_1}-\frac{2k_2^2-2}{k_2}=\frac{{2（{k_1}{k_2}+1）（{k_1}-{k_2}）}}{{{k_1}{k_2}}}=0$，
∴k_AF=k_BF∴直線AB過點F  …（10分）
②設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為M，則$M（\frac{{4{k_1}+4{k_2}}}{2}，\frac{2k_1^2+2k_2^2}{2}）$
即$M（{x_0}，k_1^2+k_2^2）$此時點M的橫坐標與點Q的橫坐標相等，∴MQ⊥l
又∵k₁k₂=-1，∴QA⊥QB，
∴點Q在以AB為直徑的圓上，
∴以AB為直徑的圓與l相切（切點為Q）．…（13分）

點評 本題考查圓錐曲線方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查計算能力．