Question

16．已知定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞減，則不等式f（log₄x）+f（log${\;}_\frac{1}{4}$x）≥2f（1）的解集為[$\frac{1}{4}$，1）∪（1，4]，．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的f（x）是偶函數(shù)，
∴不等式f（log₄x）+f（log${\;}_\frac{1}{4}$x）≥2f（1）等價為f（log₄x）+f（-log₄x）≥2f（1），
即2f（log₄x）≥2f（1），
即f（log₄x）≥f（1），
即f（|log₄x|）≥f（1），
∵f（x）在（0，+∞）上遞減，
∴|log₄x|≤1，
即-1≤log₄x≤1，得$\frac{1}{4}$≤x≤4，
∵log₄x≠0，∴x≠1，
即不等式的解為$\frac{1}{4}$≤x＜1，1＜x≤4，
即不等式的解集為，[$\frac{1}{4}$，1）∪（1，4]，
故答案為：[$\frac{1}{4}$，1）∪（1，4]

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵．