Question

8．已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＜$\frac{f（x）}{x}$，則對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），下列不等式一定成立的是（　�。�

• A． f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）
• B． f（x₁+x₂）＜f（x₁）+f（x₂）
• C． f（x₁x₂）＞f（x₁）+f（x₂）
• D． f（x₁x₂）＜f（x₁）+f（x₂）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較即可．

解答 解：定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＜$\frac{f（x）}{x}$，
即xf′（x）＜f（x），
即f（x）-xf′（x）＞0，
設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則h′（x）=$\frac{f′（x）x-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，
即當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)h（x）為減函數(shù)，
不妨設(shè)x₁＜x₂，
則$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$＞$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，
且$\frac{f（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，
即f（x₁+x₂）＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{2}}$•f（x₂）=f（x₂）+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•f（x₂）＜f（x₂）+x₁•$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=f（x₁）+f（x₂），
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．