Question

14．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=$\sqrt{2}$，z²的虛部為2．
（1）若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求復(fù)數(shù)z；
（2）若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，$\overline{z}$是z的共軛復(fù)數(shù)，求f（n）=（$\frac{z}{\overline{z}}$）²ⁿ+（$\frac{\overline{z}}{z}$）²ⁿ（n∈N^*），求集合{f（n）}中元素的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 設(shè)出復(fù)數(shù)z，利用已知求得z．
（1）由z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求得具體復(fù)數(shù)z；
（2）把對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限的z求出，代入f（n）=（$\frac{z}{\overline{z}}$）²ⁿ+（$\frac{\overline{z}}{z}$）²ⁿ，然后分n為奇數(shù)和偶數(shù)得答案．

解答 解：設(shè)z=x+yi（x，y∈R），
由|z|=$\sqrt{2}$，z²的虛部為2，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{2xy=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
（1）若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則復(fù)數(shù)z=-1-i；
（2）若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則z=1+i，$\overline{z}$=1-i，
∴$\frac{z}{\overline{z}}=\frac{1+i}{1-i}=\frac{（1+i）^{2}}{（1-i）（1+i）}=i$，$\frac{\overline{z}}{z}$=$\frac{1-i}{1+i}=\frac{（1-i）^{2}}{（1+i）（1-i）}=-i$，
則f（n）=（$\frac{z}{\overline{z}}$）²ⁿ+（$\frac{\overline{z}}{z}$）²ⁿ =i²ⁿ+（-i）²ⁿ=2•（-1）ⁿ．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f（n）=-2；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f（n）=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．