Question

19．已知復數(shù)Z滿足|Z+4|=|Z+4i|且Z+$\frac{14-Z}{Z-1}$＜0，求$\overline{Z}$．

Answer 1

分析 利用兩個獨立條件采用待定系數(shù)法確定z．然后求解$\overline{z}$

解答 解：設z=x+yi（x，y∈R），復數(shù)Z滿足|Z+4|=|Z+4i|，可得y=x．則z=x+xi，
∵z+$\frac{14-Z}{Z-1}$＜0∴z+$\frac{14-Z}{Z-1}$=x+xi+$\frac{14-x-xi}{x-1+xi}$=x+xi+$\frac{（14-x-xi）（x-1-xi）}{（x-1+xi）（x-1-xi）}$=x+xi+$\frac{15x-14-2{x}^{2}-13xi}{{（x-1）}^{2}+{x}^{2}}$
=x+$\frac{15x-14-2{x}^{2}}{{（x-1）}^{2}+{x}^{2}}$+$\frac{{x（x-1）}^{2}+{x}^{3}-13x}{{（x-1）}^{2}+{x}^{2}}i$．
∵Z+$\frac{14-Z}{Z-1}$＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x（x-1）}^{2}+{x}^{3}-13x=0\\ x+\frac{15x-14-2{x}^{2}}{{（x-1）}^{2}+{x}^{2}}＜0\end{array}\right.$
解得x=0或x=3或x=-2，經檢驗可知x=0，x=-2滿足題意．
綜上所述故$\overline{Z}$=0或$\overline{Z}$=-2+2i．

點評 本題主要考查熟練的運用復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，共軛復數(shù)的性質．