Question

8．函數(shù)f（x）=alnx+x²-（2a+1）x
（1）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+3=0，求a的值；
（2）若a＞1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值，g（a）．
（3）對任意的0＜x₁＜x₂，都有f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，求正實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)，求得切線的斜率，結(jié)合已知切線方程，即可解得a=2；
（2）求出導函數(shù)，令導函數(shù)為0求出根，通過討論根與區(qū)間[1，e]的關系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值；
（3）由題意可得g（x）=f（x）+x在（0，+∞）遞增．通過構造函數(shù)求出導數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-（2a+1），
函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為k=1-a，
在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+3=0，
則1-a=-1，解得a=2；
（2）f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-（2a+1）=$\frac{2{x}^{2}-（2a+1）x+a}{x}$，
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$（舍）或x=a，
當1＜a＜e時，f（x）在[1，a]單調(diào)遞減，在[a，e]上單調(diào)遞增
所以[f（x）]_min=f（a）=-a²-a+alna；
當a≥e時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減
所以[f（x）]_min=f（e）=e²-2ae-e+a．
即有當1＜a＜e時，g（a）=-a²-a+alna；
當a≥e時，g（a）=e²-2ae-e+a．
（3）對任意的0＜x₁＜x₂，都有f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，
即為g（x）=f（x）+x在（0，+∞）遞增．
由于g（x）=alnx+x²-2ax，g′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-2a，
g′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即有2x²-2ax+a≥0在x＞0恒成立，
即有令h（x）=2x²-2ax+a，對稱軸x=$\frac{a}{2}$＞0，
h（0）=a＞0，則判別式△≤0，
即4a²-8a≤0，解得0＜a≤2．
則有a的取值范圍為（0，2]．

點評 熟練掌握利用導數(shù)研究曲線上某點的切線和函數(shù)的單調(diào)性、等價轉(zhuǎn)化、二次函數(shù)的性質(zhì)等是解題的關鍵．