Question

5．（1）若x＞0，y＞0，x+y=1，求證：$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥4．
（2）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若x²+y²+xy=1，求x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+y）=2+$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$，由基本不等式可得；
（2）由題意和基本不等式可構(gòu)造關(guān)于x+y的不等式，解不等式可得．

解答 解：（1）證明：∵x＞0，y＞0，x+y=1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+y）
=2+$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$≥2+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}$=4
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{y}$=$\frac{y}{x}$即x=y=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥4；
（2）∵x²+y²+xy=1，
∴（x+y）²-xy=1，
∴（x+y）²-1=xy≤$（\frac{x+y}{2}）^{2}$，
解關(guān)于x+y的不等式可得0≤x+y≤$\frac{4}{3}$
∴x+y的最大值為$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值和證明不等式，屬基礎(chǔ)題．