Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，a∈R．
（Ⅰ） 當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ） 若關(guān)于x的方程f（x）=2ax²-2（a+1）x恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-3x+lnx，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令f'（x）=0，列出表格即可得出函數(shù)的單調(diào)性，極值；
（Ⅱ）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)$r（x）=\frac{lnx+x}{x^2}$，問題轉(zhuǎn)化為使$y=\frac{lnx+x}{x^2}$與y=a恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，通過討論a的范圍即可求出．

解答 解（Ⅰ）：當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-3x+lnx，
則$f'（x）=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}=\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$．
令f'（x）=0，得${x_1}=\frac{1}{2}$，x₂=1，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	$（0{，_{\;}}\frac{1}{2}）$	$\frac{1}{2}$	$（\frac{1}{2}{，_{\;}}1）$	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f（x）在$（0{，_{\;}}\frac{1}{2}）$和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{2}{，_{\;}}1）$上單調(diào)遞減．
當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）_極大值=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$-ln2，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_極小值=f（1）=-2．
（Ⅱ）依題意ax²-（2a+1）x+lnx=2ax²-2（a+1）x，
即ax²-x-lnx=0．則$a=\frac{lnx+x}{x^2}$．
令$r（x）=\frac{lnx+x}{x^2}$，則$r'（x）=\frac{{（\frac{1}{x}+1）{x^2}-2x（lnx+x）}}{x^4}=\frac{1-x-2lnx}{x^3}$．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，r'（x）＞0，故r（x）單調(diào)遞增（如圖），

且$r（\frac{1}{e}）=\frac{{-1+\frac{1}{e}}}{{\frac{1}{e^2}}}=-{e^2}+e＜0$；
當(dāng)x＞1時(shí)，r'（x）＜0，故r（x）單調(diào)遞減，且$\frac{lnx+x}{x^2}＞0$．
∴函數(shù)r（x）在x=1處取得最大值r（x）_max=r（1）=1．
故要使$y=\frac{lnx+x}{x^2}$與y=a恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，只需0＜a＜1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論的思想方法，考察了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．