Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₃=9，a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a_n≠a₁時，數(shù)列{b_n}滿足b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列前n項和公式、通項公式及等比數(shù)列性質(zhì)，列出方程組，求出首項與公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由a_n≠a₁，各b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2ⁿ⁺¹，由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₃=9，a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1+6d）}}\\{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=0}\end{array}\right.$時，a_n=3；
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$時，a_n=2+（n-1）=n+1．
（2）∵a_n≠a₁，∴a_n=n+1，∴b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2ⁿ⁺¹，
∴$_{1}={2}^{2}=4$，$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=2，
∴{b_n}是以4為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴T_n=$\frac{_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺²-4．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．