Question

2．如圖，底面為菱形P-ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABD=60°，E為PC上一動點，PA=AB．
（1）求證BD⊥AE；
（2）當AE⊥平面PBD時，求$\frac{PE}{CE}$的值；
（3）在（2）的條件下，求AE與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥BD，BD⊥PA，從而BD⊥平面PAC，由此能證明BD⊥AE．
（2）設PA=AB=2，設AC、BD交于點O，以OA為x軸，OB為y軸，過O垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出$\frac{PE}{CE}$．
（3）求出平面PBD的法向量和$\overrightarrow{AE}$，利用向量法能求出AE與平面PBD所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵P-ABCD底面為菱形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
∵E為PC上一動點，∴AE?平面PAC，
∴BD⊥AE．
解：（2）設PA=AB=2，設AC、BD交于點O，以OA為x軸，OB為y軸，
過O垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
A（$\sqrt{3}$，0，0），P（$\sqrt{3}$，0，2），C（-$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），
$\overrightarrow{PB}$=（-$\sqrt{3}$，1，-2），$\overrightarrow{PD}$=（-$\sqrt{3}$，-1，-2），
設E（a，b，c），$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PC}$，即（a-$\sqrt{3}$，b，c-2）=（-2$\sqrt{3}λ$，0，-2λ），∴E（$\sqrt{3}-2\sqrt{3}λ$，0，2-2λ），
$\overrightarrow{AE}$=（-2$\sqrt{3}λ$，0，2-2λ），
∵AE⊥平面PBD，∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，∴6λ-4+4λ=0，解得$λ=\frac{2}{5}$．
∴$\frac{PE}{PC}$=$\frac{2}{5}$，∴$\frac{PE}{CE}$=$\frac{2}{3}$．
（3）設平面PBD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=-\sqrt{3}x+y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-\sqrt{3}x-y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，-$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，0，$\frac{6}{5}$），
設AE與平面PBD所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|\frac{8\sqrt{3}}{5}-\frac{6\sqrt{3}}{5}|}{\sqrt{\frac{84}{25}}×\sqrt{7}}$=$\frac{1}{7}$．
∴AE與平面PBD所成角的正弦值為$\frac{1}{7}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查兩線段比值的求法，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．