Question

14．如圖，已知正三棱錐P-ABC中，底面是正三角形，P在底面內(nèi)的射影是正三角形的中心．若AB=1，側(cè)面和底面所成的角是60°，則此棱錐的表面積是（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{5\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 過C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，過P作PE⊥平面ABC，交CD于點(diǎn)E，求出DE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，PD=2DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此棱錐的表面積S=S_△ABC+3S_△PAB，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵正三棱錐P-ABC中，底面是正三角形，P在底面內(nèi)的射影是正三角形的中心．
AB=1，側(cè)面和底面所成的角是60°，
∴過C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，過P作PE⊥平面ABC，交CD于點(diǎn)E，
則D為AB中點(diǎn)，E為△ABC重心，∠PDE=60°，
∴DE=$\frac{1}{3}CD$=$\frac{1}{3}\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，PD=2DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴此棱錐的表面積：
S=S_△ABC+3S_△PAB
=$\frac{1}{2}×AB×CD+3×\frac{1}{2}×AB×PD$
=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}+3×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的表面積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．