Question

11．如圖，在底半徑為5，高為10的圓錐中內(nèi)接一個(gè)圓柱，
（1）寫出圓柱的高h(yuǎn)與圓柱的底面半徑r的關(guān)系式
（2）當(dāng)內(nèi)接圓柱的底面半徑為何值時(shí)，圓柱的表面積有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓錐的高與圓柱的下底交點(diǎn)為M，與圓柱的上底交點(diǎn)為O，過O作圓錐底面的平行線OA，交圓錐于A，過M作OA的平行線MN，交圓錐于N，由題意△POA∽△PMN，由此能求出結(jié)果．
（2）圓柱的表面積S=πr²•h=πr²（10-2r）=10πr²-2πr³，0＜r＜5，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出圓柱的表面積的最大值及相應(yīng)的r的求法．

解答 解：（1）設(shè)圓錐的高與圓柱的下底交點(diǎn)為M，與圓柱的上底交點(diǎn)為O，過O作圓錐底面的平行線OA，交圓錐于A，
過M作OA的平行線MN，交圓錐于N，
由題意△POA∽△PMN，
∴$\frac{10-h}{10}=\frac{r}{5}$，
整理，得h=10-2r．（0＜r＜5）．
（2）圓柱的表面積S=πr²•h=πr²（10-2r）=10πr²-2πr³，0＜r＜5，
S′=20πr-6πr²，
由S′=0，得r=$\frac{10}{3}$，
當(dāng)0＜r＜$\frac{10}{3}$時(shí)，S′＞0；當(dāng)$\frac{10}{3}＜r＜5$時(shí)，S′＜0，
∴r=$\frac{10}{3}$時(shí)，圓柱的表面積有最大值，最大值為S_max=10π×$（\frac{10}{3}）^{2}$-2$π（\frac{10}{3}）^{3}$=$\frac{1000π}{27}$．

點(diǎn)評 本題考查圓柱的高與圓柱的底面半徑的關(guān)系式的求法，考查當(dāng)內(nèi)接圓柱的底面半徑為何值時(shí)，圓柱的表面積有最大值，最大值是多少的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．