Question

6．討論下列函數(shù)的單調(diào)性：
（1）f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）；
（2）f（x）=$\frac{bx}{{x}^{2}-1}$（-1＜x＜1，b≠0）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）若a＞1，∵y=a^x是增函數(shù)，y=a^-x是減函數(shù)，
∴f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）是增函數(shù)；
若0＜a＜1，∵y=a^x是減函數(shù)，y=a^-x是增函數(shù)，
∴f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）是減函數(shù)；
（2）f（-x）=-$\frac{bx}{{x}^{2}-1}$=-f（x），（-1＜x＜1，b≠0）．
即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
f′（x）=$\frac{b（{x}^{2}-1）-bx•2x}{（{x}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{-b{x}^{2}-b}{（{x}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{-b（{x}^{2}+1）}{（{x}^{2}-1）^{2}}$，
若b＞0，則f′（x）＜0，即此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
若b＜0，則f′（x）＞0，即此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性的定義或者使用導(dǎo)數(shù)法是解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題中常用的方法．