Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，前n項(xiàng)和為S_n，a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根．
（1）求證：$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜1；
（2）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a₂=3，a₅=9，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，可得S_n=n²，即有$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，n≥2，由裂項(xiàng)相消求和，即可得證；
（2）求得數(shù)列$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：由a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，且a₂＜a₅，
可得a₂=3，a₅=9，d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{5-2}$=2，
則a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1，
S_n=$\frac{1}{2}$（a₁+a_n）n=$\frac{1}{2}$（1+2n-1）n=n²，
即有$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，n≥2，
則$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=1-$\frac{1}{n}$＜1；
（2）數(shù)列$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{5}{8}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{8}$+$\frac{5}{16}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
化簡(jiǎn)可得T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和、錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．