Question

11．求函數(shù)y=cos²x-2acosx+1的最大值．

Answer 1

分析 令t=cosx，t∈[-1，1]，依題意，y=cos²x-2acosx+1=t²-2at+1=（t-a）²-a²+1，t∈[-1，1]，令f（t）=（t-a）²-a²+1，t∈[-1，1]，則對稱軸為x=a，
通過對二次函數(shù)對稱軸t=a中a的范圍的討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得函數(shù)y函數(shù)y=cos²x-2acosx+1的最大值．

解答 解：令t=cosx，t∈[-1，1]，
∵y=cos²x-2acosx+1=t²-2at+1=（t-a）²-a²+1，t∈[-1，1]．
令f（t）=（t-a）²-a²+1，t∈[-1，1]，則對稱軸為x=a，
當(dāng)a≥1時，f（t）在[-1，1]上單調(diào)遞減，f（t）_max=f（-1）=2-2a，
當(dāng)a≤-1時，f（t）在[-1，1]上單調(diào)遞增，f（t）_max=f（1）=2+2a，
當(dāng)-1＜a＜1時，f（t）在[-1，a]上單調(diào)遞減，在[a，1]上單調(diào)遞增，
∵f（-1）=2-2a，f（1）=2+2a，
∴當(dāng)-1＜a＜0時，f（t）_max=f（-1）=2-2a，
當(dāng)0≤a＜1時，f（t）_max=f（1）=2+2a，
終上所述：f（t）_max=$\left\{\begin{array}{l}{2-2a，a≥1或-1＜a＜0}\\{2+2a，a≤-1，0≤a＜1}\end{array}\right.$，
故y_max=$\left\{\begin{array}{l}{2-2a，a≥1或-1＜a＜0}\\{2+2a，a≤-1，0≤a＜1}\end{array}\right.$．

點評 本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，著重考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想，考查分析、運算能力，屬于難題．