Question

2．在四面體ABCD中，EFGH分別是AB、AC、DC、DB的中點．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）設(shè)P∈AD，Q∈BC，求證：PQ被平面EFGH平分；
（3）平面EFGH是否將該四面體的體積二等分？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得EH∥CD，F(xiàn)G∥CD，從而EH∥FG，同理EF∥GH，可得四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）設(shè)PQ∩平面EFGH=N，連接PC，設(shè)PC∩EF=M，△PCQ所在平面∩平面EFGH=MN，CQ∥MN，由此能證明PQ被平面EFGH平分；
（3）利用分割法，證明C-EFGH的體積+C-BEH的體積=A-EFGH的體積+D-AGH的體積即可．

解答 證明：（1）∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB、AC、DC、DB的中點，
∴EH∥AD，F(xiàn)G∥AD，
∴EH∥FG，
同理EF∥GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）設(shè)PQ∩平面EFGH=N，連接PC，設(shè)PC∩GF=M，
△PCQ所在平面∩平面EFGH=MN，
∵CQ∥平面EFGH，CQ?平面PCQ，
∴CQ∥MN，
∵FG是△ADC是的中位線，
∴M是PC的中點，則N是PQ的中點，
∴PQ被平面EFGH平分；
（3）面EFGH與AD、BC都平行，又E，F(xiàn)，G，H分別是AB、AC、DC、DB的中點，
∴AD、BC到面EFGH的距離相等，
∵A-EFGH和C-EFGH是同底等高的四棱錐，∴V_A-EFGH=V_C-EFGH，
∵G是CD的中點，∴點C到BEH的距離a是點G到面ADH的距離b的2倍，得：a=2b．
∵H是DB的中點，∴△BEH的面積=$\frac{1}{2}$△ADH的面積，
∴V_C-BEH=V_D-AGH．
∴V_C-EFGH+V_C-BEH=V_A-EFGH+V_D-AGH．．
上式的左右兩邊正是被EFGH分割的兩部分體積，于是問題得證．

點評 本題考查E、F、G、H共面，考查PQ被平面EFGH平分的證明，考查體積的計算，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．