Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AP=2，AD=4，E，F(xiàn)依次是PB，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥平面PAB；
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求直線EC與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD．由矩形ABCD，AD⊥AB，即可證明AD⊥平面PAB．
（2）分別AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取平面PAD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），設(shè)直線EC與平面PAD所成角為α，則sinα=$|cos＜\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD．
由矩形ABCD，AD⊥AB，
又AB∩AP=A，∴AD⊥平面PAB．
（2）解：分別AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2）．
∴E（1，0，1），F(xiàn)（1，2，1），$\overrightarrow{EC}$=（1，4，-1），
取平面PAD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
設(shè)直線EC與平面PAD所成角為α，
則sinα=$|cos＜\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{18}×1}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴直線EC與平面PAD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、線面角的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．