Question

15．設(shè)定義域為R的函數(shù)f（x）滿足以下條件：①對任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；②對任意x₁，x₂∈[1，a]，當(dāng)x₂＞x₁時，有f（x₂）＞f（x₁），則下列不等式一定成立的是（　�。�
①f（a）＞f（0）
②f（$\frac{1+a}{2}$）＞f（$\sqrt{a}$）  
③f（$\frac{1-3a}{1+a}$）＞f（-3）
④f（$\frac{1-3a}{1+a}$）＞f（-a）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 由已知條件：①對任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，可知：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；②對任意x₁，x₂∈[1，a]，當(dāng)x₂＞x₁時，有f（x₂）＞f（x₁），可知：函數(shù)f（x）在x∈[1，a]上單調(diào)遞增．利用奇偶數(shù)與單調(diào)性即可判斷出正誤．

解答 解：由已知條件：①對任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，可知：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；②對任意x₁，x₂∈[1，a]，當(dāng)x₂＞x₁時，有f（x₂）＞f（x₁），可知：函數(shù)f（x）在x∈[1，a]上單調(diào)遞增．
對于①由于f（a）與0的大小關(guān)系沒有給出，因此f（a）＞f（0）=0，不一定正確；
對于②∵$\frac{1+a}{2}＞\sqrt{a}＞1$，∴f（$\frac{1+a}{2}$）＞f（$\sqrt{a}$），正確；
對于③f（$\frac{1-3a}{1+a}$）＞f（-3）?-$f（\frac{3a-1}{1+a}）＞-f（3）$?$f（\frac{3a-1}{1+a}）$＜f（3），
由$3-\frac{3a-1}{1+a}$=$\frac{4}{1+a}$＞0，$\frac{3a-1}{1+a}-1$=$\frac{2（a-1）}{1+a}$＞0，
∴$3＞\frac{3a-1}{1+a}＞1$，而3與a的大小關(guān)系沒有確定，因此$f（\frac{3a-1}{1+a}）$＜f（3）不一定正確；
對于④f（$\frac{1-3a}{1+a}$）＞f（-a）?$f（\frac{3a-1}{1+a}）＜$f（a），而$a-\frac{3a-1}{1+a}$=$\frac{（a-1）^{2}}{1+a}$＞0，∴$f（\frac{3a-1}{1+a}）＜$f（a），1＜$\frac{3a-1}{1+a}$＜a，
∴④正確．
綜上只有：②④正確．
故選：B．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶數(shù)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．