Question

20．已知直線l：x-y+1=0與拋物線C：x²=2y交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，M，N是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若$\overrightarrow{MN}∥\overrightarrow{AB}$，$|\overrightarrow{MN}|＜|\overrightarrow{AB}|$，則△PMN的面積的最大值為1．

Answer 1

分析 設(shè)MN：x-y+c=0（-$\frac{1}{2}$＜c＜1），求出P到MN的距離，|MN|，可得三角形的面積，再用導(dǎo)數(shù)法求解即可．

解答 解：設(shè)MN：x-y+c=0（-$\frac{1}{2}$＜c＜1），則P到MN的距離為$\frac{|c-1|}{\sqrt{2}}$，
x-y+c=0與x²=2y聯(lián)立，可得x²-2x-2c=0，∴x=1±$\sqrt{2c+1}$，
∴|MN|=$\sqrt{2}•$2$\sqrt{2c+1}$，
∴△PMN的面積=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}•$2$\sqrt{2c+1}$•$\frac{|c-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{（2c+1）（c-1）^{2}}$
令y=（2c+1）（c-1）²，∴y′=6c（c-1）
∴（-$\frac{1}{2}$，0），y′＞0，（0，1）上，y′＜0
∴c=0時(shí)，y取得最大值1，
∴△PMN的面積的最大值為1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的計(jì)算，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，確定三角形的面積是關(guān)鍵．