【題目】如圖所示,正方形邊長為,將沿翻折到的位置,使得二面角的大小為.
(1)證明:平面平面;
(2)點在直線上,且直線與平面所成角正弦值為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)已知可得,證明得平面,即可證明結(jié)論;
(2)由(1)得即為二面角的平面角,即,建立如下圖直角坐標系,得出坐標,設(shè),由已知條件結(jié)合直線與平面所成角公式,求出,確定坐標,分別求出平面和平面法向量坐標,再由空間向量的二面角公式,即可求解.
(1)證明:設(shè)交于點,連接,即為中點,
又因為,所以,因為,所以
由于平面,平面,
所以平面,又因為平面,
所以平面平面.
(2)因為,
所以即為二面角的平面角,即,
得,由,
以點為原點建立如圖空間直角坐標系,
則,,,,
設(shè),
所以
平面的一個法向量可為,
因為直線與平面所成角正弦值為
所以,
解得,所以,,
設(shè)平面的法向量為,則,
即,令,得,
因為,
設(shè)平面的法向量為,則,
即,令,得,
所以,
即二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長為1的正方形區(qū)域OABC內(nèi)有以OA為半徑的圓弧.現(xiàn)決定從AB邊上一點D引一條線段DE與圓弧相切于點E,從而將正方形區(qū)域OABC分成三塊:扇形COE為區(qū)域I,四邊形OADE為區(qū)域II,剩下的CBDE為區(qū)域III.區(qū)域I內(nèi)栽樹,區(qū)域II內(nèi)種花,區(qū)域III內(nèi)植草.每單位平方的樹、花、草所需費用分別為、、,總造價是W,設(shè)
(1)分別用表示區(qū)域I、II、III的面積;
(2)將總造價W表示為的函數(shù),并寫出定義域;
(3)求為何值時,總造價W取最小值?
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【題目】已知橢圓的焦點坐標為,,過垂直于長軸的直線交橢圓于、兩點,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)過的直線與橢圓交于不同的兩點、,則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在求出這個最大值及此時的直線方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】天干地支紀年法,源于中國.中國自古便有十天干與十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸,十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配,排列起來,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如說第一年為“甲子”,第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅”… …依此類推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新開始,即“甲戌”“乙亥”,之后地支回到“子”重新開始,即“丙子”… …依此類推.1911年中國爆發(fā)推翻清朝專制帝制、建立共和政體的全國性革命,這一年是辛亥年,史稱“辛亥革命”.1949新中國成立,請推算新中國成立的年份為( )
A.己丑年B.己酉年
C.丙寅年D.甲寅年
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),若以該直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為(其中為常數(shù)).
(1)求曲線和的直角坐標方程;
(2)若曲線和有且僅有一個公共點,求的取值范圍.
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【題目】2020年春節(jié)前后,一場突如其來的新冠肺炎疫情在武漢出現(xiàn)并很快地傳染開來(已有證據(jù)表明2019年10月、11月國外已經(jīng)存在新冠肺炎病毒),人傳人,傳播快,傳播廣,病亡率高,對人類生命形成巨大危害.在中華人民共和國,在中共中央、國務(wù)院強有力的組織領(lǐng)導(dǎo)下,全國人民萬眾一心抗擊、防控新冠肺炎,疫情早在3月底已經(jīng)得到了非常好的控制(累計病亡人數(shù)3869人).然而,國外因國家體制、思想觀念與中國的不同,防控不力,新冠肺炎疫情越來越嚴重.據(jù)美國約翰斯·霍普金斯大學(xué)每日下午6時公布的統(tǒng)計數(shù)據(jù),選取5月6日至5月10日的美國的新冠肺炎病亡人數(shù)如下表(其中t表示時間變量,日期“5月6日”、“5月7日”對應(yīng)于“t=6"、“t=7",依次下去),由下表求得累計病亡人數(shù)與時間的相關(guān)系數(shù)r=0.98.
(1)在5月6日~10日,美國新冠肺炎病亡人數(shù)與時間(日期)是否呈現(xiàn)線性相關(guān)性?
(2)選擇對累計病亡人數(shù)四舍五入后個位、十位均為0的近似數(shù),求每日累計病亡人數(shù)y隨時間t變化的線性回歸方程;
(3)請估計美國5月11日新冠肺炎病亡累計人數(shù),請初步預(yù)測病亡人數(shù)達到9萬的日期.
附:回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為
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