Question

8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C由圓弧C₁和圓弧C₂相接而成，兩相接點M，N均在直線x=5上，圓弧C₁的圓心是坐標原點O，半徑為13；圓弧C₂過點A（29，0）．
（1）求圓弧C₂的方程；
（2）曲線C上是否存在點P，滿足$PA=\sqrt{30}PO$？若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓弧 C₁所在圓的方程為 x²+y²=169，可得M，N的坐標，從而可得直線AM的方程為 y-6=2（x-17），進而可求圓弧 C₂所在圓的圓心為 （14，0），圓弧C₂ 所在圓的半徑為=29-14=15，故可求圓弧C₂ 的方程；
（2）假設(shè)存在這樣的點P（x，y），則由PA=$\sqrt{30}$PO，得x²+y²+2x-29=0，分別與圓弧方程聯(lián)立，即可知這樣的點P不存在．

解答 解：（1）圓弧 C₁所在圓的方程為 x²+y²=169，令x=5，
解得M（5，12），N（5，-12）…2分
則直線AM的中垂線方程為 y-6=2（x-17），
令y=0，得圓弧 C₂所在圓的圓心為 （14，0），
又圓弧C₂ 所在圓的半徑為29-14=15，
所以圓弧C₂ 的方程為（x-14）²+y²=225（5≤x≤29）…5分
（2）假設(shè)存在這樣的點P（x，y），則由PA=$\sqrt{30}$PO，得x²+y²+2x-29=0 …8分
由$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}+2x-29=0\\{x}^{2}+{y}^{2}=169\end{array}\right.$，解得x=-70 （舍去） 9分
由$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}+2x-29=0\\{（x-14）}^{2}+{y}^{2}=225\end{array}\right.$，解得 x=0（舍去），
綜上知，這樣的點P不存在…10分

點評 本題以圓為載體，考查圓的方程，考查曲線的交點，同時考查距離公式的運用，綜合性強．