Question

11．已知△ABC的三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且2B=A+C，求證：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合條件可得B，再由余弦定理可得c²+a²=ac+b²，將要證等式整理變形，即可得證．

解答 證明：由2B=A+C，A+B+C=π，
可得B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得b²=c²+a²-2accosB，
即有c²+a²=ac+b²，
則$\frac{a+b+c}{a+b}$+$\frac{a+b+c}{b+c}$=2+$\frac{c}{a+b}$+$\frac{a}{b+c}$
=2+$\frac{bc+{c}^{2}+{a}^{2}+ab}{ab+ac+^{2}+bc}$=2+$\frac{bc+ac+^{2}+ab}{bc+ac+^{2}+ab}$
=2+1=3，
即有$\frac{a+b+c}{a+b}$+$\frac{a+b+c}{b+c}$=3，
則$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$成立．

點(diǎn)評 本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用和解三角形問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．