Question

19．設(shè)f（x）=2sinx•cos（x-$\frac{π}{3}$）-sin（x+$\frac{3π}{2}$）•sinx-$\sqrt{3}$cos²x+m在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為3．求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 運(yùn)用誘導(dǎo)公式和兩角差的余弦公式和二倍角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得m的值，由正弦函數(shù)的增區(qū)間，解不等式即可得到所求增區(qū)間．

解答 解：f（x）=2sinx•cos（x-$\frac{π}{3}$）-sin（x+$\frac{3π}{2}$）•sinx-$\sqrt{3}$cos²x+m
=2sinx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）+cosxsinx-$\sqrt{3}$cos²x+m
=2sinxcosx-$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）+m
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+m=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+m，
由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
當(dāng)sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1即x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，f（x）取得最大值，且為2+m，
由題意可得2+m=3，解得m=1，
即有f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，主要考查二倍角公式和兩角差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．