Question

11．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₃=3，a₇=7，數(shù)列{b_n}的首項b₁=4，前n項和S_n滿足對任意m，n∈N₊，S_mS_n=2S_m+n恒成立．
（1）求{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_nb_n，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公差，即可得到所求{a_n}的通項公式；再由S₁S_n=2S_1+n，即2S_n=S_1+n，即有2S_n-1=S_n，相減再由等比數(shù)列的通項公式即可得到所求；
（2）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₃=3，a₇=7，可得a₁+2d=3，a₁+6d=7，
解得a₁=d=1，
即有a_n=1+n-1=n；
令m=1，可得S₁S_n=2S_1+n，即2S_n=S_1+n，
即有2S_n-1=S_n，
兩式相減可得2b_n=b_n+1，
即有b_n=b₂2^n-2，
由2b₁=2S₁=S₂=b₁+b₂，
解得b₂=4，則b_n=2ⁿ，n＞1．
則b_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）c_n=a_nb_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{n•{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$，
即有前n項和為T_n=4+2•4+3•8+4•16+…+n•2ⁿ，
2T_n=8+2•8+3•16+4•32+…+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-T_n=4+8+16+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
=$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=4+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．