Question

6．如果X～B（n，p），其0＜p＜1，那么當(dāng)k由0增大到n時，P（X=k）是怎樣變化的？k取何值時，p（X=k）最大？

Answer 1

分析 由已知得P（X=k）=${C}_{n}^{k}{p}^{k}（1-p）^{n-k}$，由$\left\{\begin{array}{l}{p（n=k）≥p（n=k-1）}\\{p（n=k）≥p（n=k+1）}\end{array}\right.$，能求出k取何值時，p（X=k）最大，當(dāng)k由0增大到n時，P（x=k）的值是由小到大，然后由大到�。�

解答 解：∵X～B（n，p），其0＜p＜1，
∴P（X=k）=${C}_{n}^{k}{p}^{k}（1-p）^{n-k}$，k=0，1，2，…，n．
由$\left\{\begin{array}{l}{p（n=k）≥p（n=k-1）}\\{p（n=k）≥p（n=k+1）}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{n}^{k}{p}^{k}（1-p）^{n-k}≥{C}_{n}^{k-1}{p}^{k-1}（1-p）^{n-k+1}}\\{{C}_{n}^{k}{p}^{k}（1-p）^{n-k}≥{C}_{n}^{k+1}{p}^{k+1}（1-p）^{n-k-1}}\end{array}\right.$，
解得p（n+1）-1≤k≤p（n+1），
∴當(dāng)p（n+1）是整數(shù)時，k=p（n+1）-1或k=p（n+1）時，p（X=k）最大；
當(dāng)p（n+1）不是整數(shù)時，k=[p（n+1）]時，p（X=k）最大．（[]表示取整．）
當(dāng)k由0增大到n時，P（x=k）的值是由小到大，然后由大到�。�
綜上，當(dāng)p（n+1）是整數(shù)時，k取p（n+1）-1或p（n+1）時，p（X=k）最大；
當(dāng)p（n+1）不是整數(shù)時，k取[p（n+1）]時，p（X=k）最大．（[]表示取整．）

點(diǎn)評 本題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用．